¿Qué es más ancho, el helicóptero o la sombra completa que proyecta sobre la tierra?
— ¿Es ése todo el rompecabezas?
- Sí.
— La sombra, claro está, es más ancha que elhelicóptero; los rayos del sol se difunden en forma de abanico— propuso inmediatamente alguien como solución.
— Yo diría—objetó alguien—, que, por el contrario, los rayos del sol van paralelos; la sombra y el helicóptero tienen la misma anchura.
— .¡Qué va! ¿Acaso no ha visto usted los rayos
divergentes del sol oculto tras una nube? De ello puede uno convencerse observando cuánto divergen los rayos solares. La sombra del helicóptero debe ser considerablemente mayor que el helicóptero, de la misma forma que la sombra de la nube es mayor que la' nube misma.
— ¿Por qué se acepta corrientemente que los rayos del Sol son paralelos? Marinos, astrónomos, todos lo consideran así.
Solución:
Los que discutieron sobre este problema cometieron toda una serie de faltas. No es cierto que los rayos del Sol que caen sobre la Tierra diverjan sensiblemente. Comparada con la distancia que la separa del Sol, la Tierra es tan peque¬ña, que los rayos del Sol que caen sobre cualquier parte de su superficie divergen en un ángulo pequeñísimo, inapreciable; prácticamente éstos pueden considerarse paralelos. A veces contem-plamos (en el llamado «resplandor tras las nu-bes»,) que los rayos del Sol se difunden en forma de abanico; esto es sólo fruto de la perspectiva. Observadas en perspectiva, las líneas parale¬las parecen convergentes; recuerden ustedes, por ejemplo, los rieles que se pierden a lo lejos o una larga avenida de árboles. No obstante, el que los rayos del Sol caigan sobre la Tierra en un haz paralelo, no quiere decir, ni mucho menos, que la sombra completa del helicóptero sea igual a la anchura del mismo. Si examinamos la fíg. 4 veremos, que la sombra completa del helicóptero en el espacio se reduce en dirección a la Tierra y que, por consiguiente, la sombra, proyectada en la superficie de la Tie-rra, debe ser más estrecha que el mismo helicóp-tero: CD es menor que AB,
martes, 1 de febrero de 2011
El vuelo del helicóptero.
De San Peterburgo despegó un helicóptero con rumbo al norte. Una vez recorridos 500 km en esa dirección, cambió de rumbo y puso proa al este. Después de volar en esa dirección 500 km, hizo un viraje de 90° y recorrió en dirección sur 500 km. Luego viró hacia el oeste, y después de cubrir una dis¬tancia de 500 km, aterrizó. Si tomamos como punta de referencia a San Peterburgose pregunta, cuál será la situación del lugar de aterrizaje del helicóptero: al oeste, al este, al norte o al sur de esta ciudad.
— Este es un problema para gente ingenua dijo uno da los presentes: quinientos pasos hacia
adelante, 500 a la derecha, 500 hacia atrás y 500 hacia la izquierda, ¿a dónde vamos a parar?
Llegaremos, naturalmente, al mismo lugar de donde habíamos partido.
— Así pues, ¿dónde le parece a usted que aterrizó el helicóptero?
— En el mismo aeródromo de San Peterburgo de donde había despegado. ¿No es así?
- Claro que no.
— ¡Entonces no comprendo nada!
— Aquí hay gato encerrado — intervino en la
conversación el vecino—. ¿Acaso el helicóptero
no aterrizó en San Peterburgo?... ¿No podría repetirel problema?
El aviador accedió de buena gana. Le escucha ron con atención, mirándose perplejos.
Respuesta;
Este problema no contiene contradicción alguna. No hay que pensar que el helicóptero volaba siguiendo el perímetro de un cuadrado: es necesario tener en cuenta la forma esferoidal de la Tierra. Los meridianos, al avanzar hacia el norte, so van aproximando (fig. 3); por ello, cuando voló los 500 kilómetros siguiendo el arco del paralelo situado a 500 km más al norte de la latitud de Leningrado, el helicóptero se desplazó hacía un número de grados mayor que el que recorrió después en dirección contraria, al encontrarse de nuevo en la latitud de San Peterburgo. Como resultado de ello, el helicóptero, al terminar el vuelo, estaba más al este de San Peterburgo ¿Cuántos exactamente? Esto puede calcularse. En la fig. ustedes ven la ruta seguida por el helicóptero: ABCDE. El punto N es el Polo Norte; en ese punto se juntan los meridianos AB y CD. El helicóptero voló primero 500 km hacia el norte, es decir, siguiendo el meridiano AN. Como la longitud de jan grado de meridiano equivale allí km, el arco de meridiano de 500 km contendrá 500 : 111 « 4,5°. Leningrado está situado en el paralelo 60; por consiguiente, el punto B se encuentra en la latitud 60° + 4,5° = = 64,5°. Después, el helicóptero voló con rumbo este, es decir, por el paralelo BC, y recorrió, siguiéndolo, 500 km. La longitud de un grado en este paralelo puede calcularse (o verse en las ta¬blas); ésta equivale, aproximadamente, a 48 km. De aquí que sea fácil determinar cuántos grados recorrió el helicóptero en dirección este: 500 : 48 « 10,4°. Luego, la nave aérea tomó dirección sur, es decir, voló siguiendo el meridiano CD y recorridos §00 km debería encontrarse de nuevo en el paralelo de San Peterburgo. Ahora la ruta toma dirección oeste, es decir, va por AD; 500 km de este camino es, evidentemente, una distancia más corta que AD. En la distancia AD hay los mismos grados que en la BC, es decir, 10,4°. Pero la distancia de un grado, a los 60° de latitud, equivale aproximadamente a 55,5 km; Por consiguiente, entre A y D existe una distancia igual a 55,5 x 10,4 » 577 km.
— Este es un problema para gente ingenua dijo uno da los presentes: quinientos pasos hacia
adelante, 500 a la derecha, 500 hacia atrás y 500 hacia la izquierda, ¿a dónde vamos a parar?
Llegaremos, naturalmente, al mismo lugar de donde habíamos partido.
— Así pues, ¿dónde le parece a usted que aterrizó el helicóptero?
— En el mismo aeródromo de San Peterburgo de donde había despegado. ¿No es así?
- Claro que no.
— ¡Entonces no comprendo nada!
— Aquí hay gato encerrado — intervino en la
conversación el vecino—. ¿Acaso el helicóptero
no aterrizó en San Peterburgo?... ¿No podría repetirel problema?
El aviador accedió de buena gana. Le escucha ron con atención, mirándose perplejos.
Respuesta;
Este problema no contiene contradicción alguna. No hay que pensar que el helicóptero volaba siguiendo el perímetro de un cuadrado: es necesario tener en cuenta la forma esferoidal de la Tierra. Los meridianos, al avanzar hacia el norte, so van aproximando (fig. 3); por ello, cuando voló los 500 kilómetros siguiendo el arco del paralelo situado a 500 km más al norte de la latitud de Leningrado, el helicóptero se desplazó hacía un número de grados mayor que el que recorrió después en dirección contraria, al encontrarse de nuevo en la latitud de San Peterburgo. Como resultado de ello, el helicóptero, al terminar el vuelo, estaba más al este de San Peterburgo ¿Cuántos exactamente? Esto puede calcularse. En la fig. ustedes ven la ruta seguida por el helicóptero: ABCDE. El punto N es el Polo Norte; en ese punto se juntan los meridianos AB y CD. El helicóptero voló primero 500 km hacia el norte, es decir, siguiendo el meridiano AN. Como la longitud de jan grado de meridiano equivale allí km, el arco de meridiano de 500 km contendrá 500 : 111 « 4,5°. Leningrado está situado en el paralelo 60; por consiguiente, el punto B se encuentra en la latitud 60° + 4,5° = = 64,5°. Después, el helicóptero voló con rumbo este, es decir, por el paralelo BC, y recorrió, siguiéndolo, 500 km. La longitud de un grado en este paralelo puede calcularse (o verse en las ta¬blas); ésta equivale, aproximadamente, a 48 km. De aquí que sea fácil determinar cuántos grados recorrió el helicóptero en dirección este: 500 : 48 « 10,4°. Luego, la nave aérea tomó dirección sur, es decir, voló siguiendo el meridiano CD y recorridos §00 km debería encontrarse de nuevo en el paralelo de San Peterburgo. Ahora la ruta toma dirección oeste, es decir, va por AD; 500 km de este camino es, evidentemente, una distancia más corta que AD. En la distancia AD hay los mismos grados que en la BC, es decir, 10,4°. Pero la distancia de un grado, a los 60° de latitud, equivale aproximadamente a 55,5 km; Por consiguiente, entre A y D existe una distancia igual a 55,5 x 10,4 » 577 km.
Los billetes de ferrocarril.
Soy cajera en una estación de ferrocarril y despacho boletos—empezó a decir la siguiente participante en el juego—. A muchos esto les parecerá cosa sencilla. No sospechan el número tan grande de boletos que debe manejar la cajera de una estación, incluso de poca importancia. Es indispensable que los pasajeros puedan adquirir billetes desde la indicada estación hasta cualquiera otra del mismo ferrocarril y, Además, en ambas direcciones. Presto mis servicios en una línea que consta de 25 estaciones. ¿Cuántos boletos diferentes piensan ustedes que ha preparado la empresa para abastecer las cajas de todas las estaciones?
Respuesta:
En cada una de las 25 estaciones, los pasajeros pueden pedir boletos para cualquier estación, es decir, para los 24 puntos diferentes. Esto indica que el número de boletos diferentes que hay que preparar es de 25 X 24 = 600. Si los pasajeros desean adquirir boletos no solamente de «ida», sino también de «vuelta», es decir, de «ida y vuelta», el número de boletos diferentes aumenta el doble, o sea, se necesitarán 1200.
Respuesta:
En cada una de las 25 estaciones, los pasajeros pueden pedir boletos para cualquier estación, es decir, para los 24 puntos diferentes. Esto indica que el número de boletos diferentes que hay que preparar es de 25 X 24 = 600. Si los pasajeros desean adquirir boletos no solamente de «ida», sino también de «vuelta», es decir, de «ida y vuelta», el número de boletos diferentes aumenta el doble, o sea, se necesitarán 1200.
El abuelo y el nieto
Lo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos
años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento
de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo.
Me pareció imposible.
— Claro que es imposible—añadió una voz.
Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?
Respuesta:
A primera vista puede creerse, efectivamente, que el problema está mal planteado;
parece como si el nieto y el abuelo fueran de la misma edad. Sin embargo, las condiciones exigidas por el problema se cumplen fácilmente,
como vamos a verlo ahora mismo.
El nieto, evidentemente, ha nacido en el siglo XX. Las dos primeras cifras del año de su naci-miento, por consiguiente, son 19; ése es el número de las centenas. El número expresado por las cifras restantes, sumado con él mismo, debe dar como resultado 32. Es decir, que este núme¬ro es 16: el año de nacimiento del nieto es 1916, y en 1932 tenía 16 años.
El abuelo nació, claro está, en el siglo XIX; las dos primeras cifras del año de su nacimiento son 18. El número duplicado, expresado por lasestantes cifras, debe, sumar 132. Es decir, que su valor es igual a la mitad de este número, o sea, a 66. El abuelo nació en 1866, y en 1932 tenía 66 años.
De este modo, el nieto y el abuelo tenían, en 1932, tantos años como expresan las dos últimas cifras de los años de su nacimiento.
años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento
de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo.
Me pareció imposible.
— Claro que es imposible—añadió una voz.
Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?
Respuesta:
A primera vista puede creerse, efectivamente, que el problema está mal planteado;
parece como si el nieto y el abuelo fueran de la misma edad. Sin embargo, las condiciones exigidas por el problema se cumplen fácilmente,
como vamos a verlo ahora mismo.
El nieto, evidentemente, ha nacido en el siglo XX. Las dos primeras cifras del año de su naci-miento, por consiguiente, son 19; ése es el número de las centenas. El número expresado por las cifras restantes, sumado con él mismo, debe dar como resultado 32. Es decir, que este núme¬ro es 16: el año de nacimiento del nieto es 1916, y en 1932 tenía 16 años.
El abuelo nació, claro está, en el siglo XIX; las dos primeras cifras del año de su nacimiento son 18. El número duplicado, expresado por lasestantes cifras, debe, sumar 132. Es decir, que su valor es igual a la mitad de este número, o sea, a 66. El abuelo nació en 1866, y en 1932 tenía 66 años.
De este modo, el nieto y el abuelo tenían, en 1932, tantos años como expresan las dos últimas cifras de los años de su nacimiento.
¿Quién cuenta más?
Dos personas estuvieron contando, durante una hora, a todos los transeúntes que pasaban por la acera. Una estaba parada junto a la puerta; otra andaba y desandaba por la acera. ¿Quién contó más transeúntes?
Respuesta:
Ambos contaron el mismo número de transeúntes. El que estaba parado junto a la
puerta contaba los transeúntes que marchabanen ambas direcciones, mientras que el que andaba, veía dos veces más personas que se cruzaban con él.
Se puede razonar de otro modo. Cuando aquel de los considerados que se paseaba por la acera, por primera vez volvió a donde su amigo parado, ellos contaron igual número de transeúntes: cada uno, el que pasó cerca del parado cayó (en uno u otro recorrido) también entre los contados por el que paseaba (y por el contrario). Y cada vez, al regresar hacia su amigo parado, el que paseaba contó el mismo número de transeúntes. Lo mismo ocurrió al final de una hora, cuando ellos se encontraron por última vez y se comunicaron mutuamente los resultados.
Respuesta:
Ambos contaron el mismo número de transeúntes. El que estaba parado junto a la
puerta contaba los transeúntes que marchabanen ambas direcciones, mientras que el que andaba, veía dos veces más personas que se cruzaban con él.
Se puede razonar de otro modo. Cuando aquel de los considerados que se paseaba por la acera, por primera vez volvió a donde su amigo parado, ellos contaron igual número de transeúntes: cada uno, el que pasó cerca del parado cayó (en uno u otro recorrido) también entre los contados por el que paseaba (y por el contrario). Y cada vez, al regresar hacia su amigo parado, el que paseaba contó el mismo número de transeúntes. Lo mismo ocurrió al final de una hora, cuando ellos se encontraron por última vez y se comunicaron mutuamente los resultados.
Funcionamiento de los círculos escolares
En nuestra escuela— comenzó el pionero— , funcionan cinco círculos: de política, de literatura, de fotografía, de ajedrez y de canto. El de política funciona un día sí y otro no; el de literatura, una vez cada tres días; el de fotografía, una cada cuatro días; el de ajedrez, una cada cin¬co días, y el de canto, una cada seis días. El primero de enero se reunieron en la escuela todos los círculos y siguieron haciéndolo después en los días señalados, sin perder uno. Se trata de adivinar cuántas tardes más, en el primer tri¬mestre, se reunieron en la escuela los cinco cír¬culos a la vez.
— ¿El año era corriente o bisiesto? — preguntaron al pionero.
— Corriente.
— ¿Es decir, que el primer trimestre—enero,
febrero y marzo—fue de 90 días?
— Claro que sí.
— Permíteme añadir una pregunta más a la
hecha por ti en el planteamiento del rompecabezas — dijo el profesor —. Es la siguiente: ¿cuántas tardes de ese mismo trimestre no se celebre en la escuela ninguna reunión de círculo?
- ¡Ah, ya comprendo!— exclamó alguien — Es un problema con segunda intención... Me parece que después del primero de enero, no habrá ni un día en que se reúnan todos los círculos a la vez, ni tampoco habrá uno en que no se reúna alguno de los cinco. ¡Esto está claro!
— ¿Por qué?
— No puedo explicarlo, pero creo que lo que
quieren es pescar a uno.
Respuesta:
Contestaremos fácilmente a la primera cuestión—al cab-o de cuántos días .se reunirán en xa escuela los 5 círculos a la vez—, si sabemos encontrar el menor de todos los números que se divida exactamente (mínimo común múltiplo) por 2, 3, 4, 5 y 6. Es fácil comprender que este número es el 60. Es decir, el día 61 se reunirán de nuevo los 5 círculos: el de política, después de 30 intervalos de dos días; el de literatura, a los 20 intervalos de 3 días; 'el de fotografía, a los 15 intervalos de cuatro días; el de ajedrez, a los 12 intervalos de 5 días, y el de canto, a los 10 intervalos de 6 días. Antes de 60 días no habrá una tarde así. Pasados otros 60 días vendrá una nueva tarde semejante, pero ya en el segun¬do trimestre.
Así pues, en el primer trimestre hay una sola tarde en la que se reunirán de nuevo en la escue¬la los 5 círculos a la vez.
Ha1 lar respuesta a la pregunta ¿cuántas tar-des no se reunirá ningún círculo? resulta más complicado. Para encontrar esos días hay que escribir por orden los números del 1 al 90 y tachar, en la serie, los días de funcionamiento del círculo de política,, es decir, los números 1, 3, 5, 7, 9, etc. Luego hay que tachar los días de funcionamiento del círculo de literatura: el 4, 7, 10, etc. Después de haber tachado los días correspondientes a los círculos de fotografía, de ajedrez y de canto, nos quedarán los días en que en el primer trimestre no haya funcionado ni un solo círculo.
Quien haga esta operación se convencerá de
que en el curso del primer trimestre, los días en que no funciona ningún círculo son bastantes: 24; en enero 8: los días 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24 y 30. En febrero hay 7 días así, y en marzo, 9.
— ¿El año era corriente o bisiesto? — preguntaron al pionero.
— Corriente.
— ¿Es decir, que el primer trimestre—enero,
febrero y marzo—fue de 90 días?
— Claro que sí.
— Permíteme añadir una pregunta más a la
hecha por ti en el planteamiento del rompecabezas — dijo el profesor —. Es la siguiente: ¿cuántas tardes de ese mismo trimestre no se celebre en la escuela ninguna reunión de círculo?
- ¡Ah, ya comprendo!— exclamó alguien — Es un problema con segunda intención... Me parece que después del primero de enero, no habrá ni un día en que se reúnan todos los círculos a la vez, ni tampoco habrá uno en que no se reúna alguno de los cinco. ¡Esto está claro!
— ¿Por qué?
— No puedo explicarlo, pero creo que lo que
quieren es pescar a uno.
Respuesta:
Contestaremos fácilmente a la primera cuestión—al cab-o de cuántos días .se reunirán en xa escuela los 5 círculos a la vez—, si sabemos encontrar el menor de todos los números que se divida exactamente (mínimo común múltiplo) por 2, 3, 4, 5 y 6. Es fácil comprender que este número es el 60. Es decir, el día 61 se reunirán de nuevo los 5 círculos: el de política, después de 30 intervalos de dos días; el de literatura, a los 20 intervalos de 3 días; 'el de fotografía, a los 15 intervalos de cuatro días; el de ajedrez, a los 12 intervalos de 5 días, y el de canto, a los 10 intervalos de 6 días. Antes de 60 días no habrá una tarde así. Pasados otros 60 días vendrá una nueva tarde semejante, pero ya en el segun¬do trimestre.
Así pues, en el primer trimestre hay una sola tarde en la que se reunirán de nuevo en la escue¬la los 5 círculos a la vez.
Ha1 lar respuesta a la pregunta ¿cuántas tar-des no se reunirá ningún círculo? resulta más complicado. Para encontrar esos días hay que escribir por orden los números del 1 al 90 y tachar, en la serie, los días de funcionamiento del círculo de política,, es decir, los números 1, 3, 5, 7, 9, etc. Luego hay que tachar los días de funcionamiento del círculo de literatura: el 4, 7, 10, etc. Después de haber tachado los días correspondientes a los círculos de fotografía, de ajedrez y de canto, nos quedarán los días en que en el primer trimestre no haya funcionado ni un solo círculo.
Quien haga esta operación se convencerá de
que en el curso del primer trimestre, los días en que no funciona ningún círculo son bastantes: 24; en enero 8: los días 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24 y 30. En febrero hay 7 días así, y en marzo, 9.
lunes, 31 de enero de 2011
Adivinar un Número sin preguntar nada
Adivinar un número sin preguntar nada. Usted propone a un amigo que piense un número cualquiera de tres cifras que no termine en cero (pero que sea un número tal, que la diferencia entre la primera y última cifra no sea menor de 2), y le ruega que ponga después las cifras en orden contrario. Hecho esto, debe restar del número mayor el menor y la diferencia obtenida sumarla con ella misma, pero con las cifras escritas en orden contrario. Sin preguntar nada a su camara¬da, usted adivina el número resultante.
Si, por ejemplo, se había pensado el número 467, el amigo en cuestión debe realizar las Siguientes operaciones:
467; 764; 764 297
+ 467 792
297 1089
Este resultado final, 1089, es el que usted comunica a su camarada. ¿Cómo puede saberlo?
Analicemos el problema en su aspecto general. Tomemos un número con las cifras a, b y c, además, « es-mayor que c, por lo menos, en dos unídades. El numero será: 100a + 106 + c.,
El número con las cifras en orden contrario
será:
La diferencia entre el primero y el segundo será igual a
99a — 99c.
Hagamos las siguientes transformaciones:
99a — 99c = 99 (a — c) = 100 (a — c) — (a — c) =
+ 10 — a
= 100(a — c — 1) + 90 + (10 — a + c).
Es decir, que la diferencia consta de las tres cifras siguientes:
cifra de las centenas: a—c — l,
» » » decenas 9,
» » unidades: 10+ e— a.
El número con las cifras en orden contrario se representa así:
100(10 + c-fl)+90+(a-c-l). Sumando ambas expresiones: 100 (a — c — l)+90-flO + c — a-f + 100(10 + c— a) + 90 + a — c — 1,
resulta:
100x9-4-180 + 9 = 1089.
Así, cualesquiera que sean las cifras a, b, c, una vez hechas las operaciones mencionadas, se obtendrá siempre el mismo número: 1089. Por
ello no os difícil adivinar el resultado de estos cálculos: usted lo conocía de antemano.
Está claro que este truco no debe presentarse a la misma persona dos veces, porque el secreto quedará descubierto.
Si, por ejemplo, se había pensado el número 467, el amigo en cuestión debe realizar las Siguientes operaciones:
467; 764; 764 297
+ 467 792
297 1089
Este resultado final, 1089, es el que usted comunica a su camarada. ¿Cómo puede saberlo?
Analicemos el problema en su aspecto general. Tomemos un número con las cifras a, b y c, además, « es-mayor que c, por lo menos, en dos unídades. El numero será: 100a + 106 + c.,
El número con las cifras en orden contrario
será:
La diferencia entre el primero y el segundo será igual a
99a — 99c.
Hagamos las siguientes transformaciones:
99a — 99c = 99 (a — c) = 100 (a — c) — (a — c) =
+ 10 — a
= 100(a — c — 1) + 90 + (10 — a + c).
Es decir, que la diferencia consta de las tres cifras siguientes:
cifra de las centenas: a—c — l,
» » » decenas 9,
» » unidades: 10+ e— a.
El número con las cifras en orden contrario se representa así:
100(10 + c-fl)+90+(a-c-l). Sumando ambas expresiones: 100 (a — c — l)+90-flO + c — a-f + 100(10 + c— a) + 90 + a — c — 1,
resulta:
100x9-4-180 + 9 = 1089.
Así, cualesquiera que sean las cifras a, b, c, una vez hechas las operaciones mencionadas, se obtendrá siempre el mismo número: 1089. Por
ello no os difícil adivinar el resultado de estos cálculos: usted lo conocía de antemano.
Está claro que este truco no debe presentarse a la misma persona dos veces, porque el secreto quedará descubierto.
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